k×k 平行四边形网格：从 A 到 B 有几种走法
审题说明 审题说明：原图是 4 行 4 列共 16 个小平行四边形（5×5 个格点），所以按 k＝4 计算；A 在左下角，B 在右上角。小平行四边形的左右两边向左上倾斜，对角线连接每个小格的左下顶点和右上顶点。图中三个箭头就是三种走法：向右走一条横边、沿斜边往上走一格、沿对角线往右上走一格；不能往回走。
以 k＝4 为例：一点一点标数
审题说明 图里画的是 k＝4，B 点标出 321。
标数法：看出递推规律（k＝4）
看清三种走法
每一步只能向右、沿斜边向上、或沿对角线向右上。所以到达一个点的最后一步，只能来自它的左边一点、下边一点（沿斜边往下）或左下一点（对角线另一端）。
边上都标 1
最下面一行只能一直向右走，最左边一列只能一直沿斜边向上走，所以这些点都只有 1 种走法。
里面的点：三数相加
每个点＝左边＋下边＋左下。从下往上一行一行标：第 2 行 1、3、5、7、9；第 3 行 1、5、13、25、41；第 4 行 1、7、25、63、129。
标到 B
最上一行 1、9、41、129，B＝129（左）＋129（下）＋63（左下）＝321。
| 行 | 第 1 列 | 第 2 列 | 第 3 列 | 第 4 列 | 第 5 列 |
|---|---|---|---|---|---|
| 第 5 行 | 1 | 9 | 41 | 129 | 321（B） |
| 第 4 行 | 1 | 7 | 25 | 63 | 129 |
| 第 3 行 | 1 | 5 | 13 | 25 | 41 |
| 第 2 行 | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 |
| 第 1 行 | 1（A） | 1 | 1 | 1 | 1 |
按走了几步对角线分类
三种步子
把每一步记成一个字：右、上、斜。斜一步＝右一步＋上一步。
按斜步数分类
若走了 d 步斜，还要走 k−d 步右、k−d 步上，一共 2k−d 步，d 可以是 0、1、…、k。
排法计数
走法＝这 2k−d 个字的排法：先在 2k−d 个位置里挑 d 个放「斜」，有 C(2k−d, d) 种；剩下 2k−2d 个位置挑 k−d 个放「右」，有 C(2k−2d, k−d) 种；其余放「上」。
分类相加
把 d＝0 到 k 各类加起来就是答案。k＝4 时：d＝0,1,2,3,4 依次 70＋140＋90＋20＋1＝321，与标数法一致。
| k | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 走法数 | 3 | 13 | 63 | 321 | 1683 | 8989 |
审题说明 k＝4 即图中情形
一句话标数法看规律（每点＝左＋下＋左下），分类计数得通用式：按斜步数 d 分类，走法＝Σ C(2k−d, d)·C(2k−2d, k−d)，d 从 0 到 k；k＝4 时为 321。
易错点
- 漏掉对角线：只算向右和向上，会得到 70 种（从 8 步里选 4 步向右），少了走对角线的走法。
- 对角线方向弄反：图中对角线是左下到右上，所以加的是「左下」那个点，不是「左上」。
- 格数和点数：k×k 个小格有 (k＋1)×(k＋1) 个点，要标到第 k＋1 行第 k＋1 个点。
- 斜边的「下边」：沿斜边往下的点在图上是右下方，不是正下方。