几何 · 梯形面积展开 · 差量对消发题
梯形下底是上底 3 倍：已知三块面积求第四块
原题
梯形 ABCD 中，下底 CD 的长是上底 AB 的 3 倍，PA、PB、PC、PD 将梯形分成四块，其中三块的面积如图所示（SPAB = 5，SPAD = 7，SPBC = 9），那么另一块的面积（SPCD）是________。
动态几何推导 · 2分59秒
视频精讲
辅助线 AM、BN · 梯形四倍分解
原理图解
辅助线 AM、BN · 差量对消
解题步骤
连结 AM、BN：梯形面积 ＝ (上 ＋ 下/3) × 4
在下底取两个三等分点 M、N（使 DM ＝ MN ＝ NC ＝ AB），连结 AM 和 BN：
• 左 △AMD 占 1 份全高三角形；
• 中间平行四边形 ABNM 面积是同底三角形的 2 倍，占 2 份；
• 右 △BNC 占 1 份全高三角形。
三部分合起来，整个梯形恰由 1 ＋ 2 ＋ 1 ＝ 4 份全高三角形组成。每一份全高三角形被点 P 分为「上三角 ＋ 1/3 下三角」，故：
梯形总面积 ＝ (上 ＋ 下/3) × 4 ＝ 4 × 上 ＋ 4/3 × 下
从总面积扣除上下，锁定左右两翼
整个梯形由「上、下、左、右」四块拼成。从总面积中各扣除 1 个上三角与 1 个下三角：
• 上三角留下：4 − 1 ＝ 3 倍；
• 下三角留下：4/3 − 1 ＝ 1/3 倍。
左 ＋ 右 ＝ 3 × 上 ＋ 1/3 × 下
差量乘 3，直接得出下三角
左右两翼之和（7 ＋ 9）减去 3 倍上三角（3 × 5），多出的差量恰好是下三角的三分之一。两边乘以 3：
SPCD ＝ (7 ＋ 9 − 3 × 5) × 3 ＝ 3
梯形内点面积定理
通用公式总结
若梯形下底是上底的 k 倍（CD ＝ k · AB），P 为内部任意一点，则四块面积满足通用关系：
左 ＋ 右 ＝ k · 上 ＋ (1/k) · 下
移项整理，即得求解下底三角形面积的通用公式：
S下 ＝ [ (S左 ＋ S右) − k · S上 ] × k
- k ＝ 1（平行四边形）：S下 ＝ S左 ＋ S右 − S上，即经典的 上 ＋ 下 ＝ 左 ＋ 右；
- k ＝ 2（下底是上底 2 倍）：S下 ＝ [ (S左 ＋ S右) − 2 · S上 ] × 2；
- k ＝ 3（本题）：S下 ＝ [ (7 ＋ 9) − 3 × 5 ] × 3 ＝ 3。