7×7 点阵中至少选多少个点，才能保证存在水平竖直长方形？
从 7×7 的点阵中，至少要选出 ______ 个点，才能保证在这些选出的点中一定能找到四个点，恰好可以构成一个边为水平、竖直方向的长方形（含正方形）的四个顶点。
交互演示
21 个实心点按每行向右循环平移一格排好，暂时固定。点击任一空心点加点，再点一次可撤回；试试全部 28 个空位。
键盘方向键移动焦点，空格或回车选点。
- 已选点数
- 21 / 49
- 搭配使用总次数
- 21 / 21 个抽屉
- 已用列搭配种数
- 21 / 21
- 检测到长方形
- 0 个
同一行选中的任意两列构成一种搭配；不同的行不能重复同一种搭配，否则出现长方形。
逐行对账
一行选 3 点，产生 3 种列搭配；选 4 点，产生 6 种列搭配。搭配次数按行累加，重复也计入。
原理图解
第 1 行选第 1、2、4 列，后面每行向右循环平移一格。21 种列搭配各用一次，再加一个点就会出现长方形。
极简解答
列搭配的容量上限：21 种
同一行选中的任意两列，构成一种搭配；不同的行不能重复同一种搭配，否则出现长方形。
7 列中选两列，全部可能的列搭配只有 C(7, 2) ＝ 21 种（即 21 个抽屉）。因此要想全阵不出现长方形，所有行产生的列搭配总数最多只能容纳 21 种。
正向推算点数上限：最多选 21 点
一行选的点越多，产生的搭配数增长越快（选 2 点产 1 种、选 3 点产 3 种、选 4 点跳到 6 种）。要在不超过 21 种搭配的前提下多放点，每行点数应尽量平均：
• 每行选 3 点：7 行共 7 × 3 ＝ 21 点，产生搭配 7 × C(3, 2) ＝ 21 种，恰好占满全部 21 个抽屉！
• 若想选 22 点：哪怕最省（6 行 3 点、1 行 4 点），搭配总数也会达到 6 × 3 ＋ 6 ＝ 24 种 ＞ 21，必定重复碰撞出长方形！
因此，避开长方形的理论上限就是 21 个点。
验证 21 点可行，锁定答案 22 点
这 21 点的上限能否真正做到？第 1 行选 第 1、2、4 列，后面每行顺次向右循环平移 1 格：
行 1: (1, 2, 4) · 行 2: (2, 3, 5) · 行 3: (3, 4, 6) · 行 4: (4, 5, 7)
行 5: (5, 6, 1) · 行 6: (6, 7, 2) · 行 7: (7, 1, 3)任意两行最多只有 1 个公共点，不多不少刚好把 21 种搭配各用一次，确实做到了 0 个长方形！
既然 21 个点可以完全避开，要想保证必有长方形，就必须突破这个上限，至少选出 21 ＋ 1 ＝ 22 个点。