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计数 · 蚂蚁爬行发题

蚂蚁回中心：五步闭合路径计数

原题

如图，一只蚂蚁从中心 A 点出发，连走 5 步后又回到 A 点，且中间没有回到过 A 点。有（　）种不同的走法。（每一步只能从任意一点走到与它相邻的点，允许走重复路线。）

A. 144　 B. 156　 C. 168　 D. 180

蚂蚁行走路线：A 周围的两类相邻点三个正六边形各分成六个等边三角形，共有十六个点。中心 A 连接三个六边形中心 B 和三个共用交点 C；外侧有六个 D 点、三个顶端 E 点。同一字母表示同类点，线段表示可以走的一步。ABBBCCCDDDDDDEEE
同字母为同类点：B 是内邻点（六边形中心），C 是共用交点；D、E 在外侧。沿线段走一步。
交互演示

蚂蚁爬行动态回放与标数推导

第 0 / 5 步 · 路线 #1起点 A：准备出发
AB1B2B3C1C2C3D1D2D3D4D5D6E1E2E3🐜
起步筛选：
当前路线：A → B1 → C1 → B1 → C1 → A
讲解 · 对称分类

先分两类，再数一个方向

A 相邻的 6 个点分为：内邻 B 类点 3 个，交点 C 类点 3 个。图形旋转三分之一圈后不变，所以同类点的走法一样，只需各选一个来数。

先倒着数：只在最后一步到 A。剩 1 步时，B、C 各有 1 种，D、E 为 0；每多留 1 步，就把相邻的非 A 点的走法数相加。

从各类点出发，恰好走回 A 的走法数
剩余步数BCDE
1 步1100
2 步2221
3 步9856

例如，B 旁有 2 个 C、2 个 D、1 个 E，剩 3 步时共 2 × 2 + 2 × 2 + 1 = 9 种。全程都不计提前到 A 的走法。

  1. 步骤一：第一步走向 B 类点

    第二步不能回 A，可到 2 个 C、2 个 D、1 个 E。此后还剩 3 步，查表得：

    8 × 2 + 5 × 2 + 6 = 32（种）。

    B 类点共 3 个，每个 32 种，小计 32 × 3 = 96（种）。

  2. 步骤二：第一步走向 C 类点

    第二步不能回 A，可到 2 个 B、2 个 D。此后还剩 3 步，查表得：

    9 × 2 + 5 × 2 = 28（种）。

    C 类点共 3 个，每个 28 种，小计 28 × 3 = 84（种）。

  3. 步骤三：合并汇总

    第一步走 B 或 C，已经包括全部走法，且没有重复。

    （32 + 28）× 3 = 180（种）。