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行程 · 声呐测速 · 和差比例法发题

两潜艇同向潜航：根据声呐反射回波间隔求航速

原题

太平洋号和北冰洋号两艘潜艇在海里沿直线同向潜航，北冰洋号在前，太平洋号在后。在潜航的某个时刻，太平洋号发出声波，间隔2秒后，再次发出声波。当声波传到北冰洋号时，北冰洋号会反射声波。已知太平洋号的航行速度是每小时54千米，第一次和第二次探测到北冰洋号反射声波的间隔时间是2.01秒，声波传播速度是每秒1185米。北冰洋号的潜航速度是每小时多少千米？

交互演示

声呐脉冲往返轨迹与和差拆解

时间:0.00s
0m1000m2000m3000m声波 1 (去程 1185m/s)太平洋号15 m/s (54 km/h)北冰洋号64又7/11 km/h
两艇相对位置
间距 3000.0 米
波 1 进程
去程追击中
波 2 进程
等待 2.0s 发射
原理图解

双脉冲往返时空图

双脉冲声呐往返时空图（纵轴为时间流向）太平洋号 (15 m/s)北冰洋号 (待求航速)波1发射 (t=0)波1遇艇反射波1接收 (T₁)波2发射 (t=2s)波2遇艇反射波2接收 (T₂)发射间隔：Δt发 ＝ 2.00 秒接收间隔：Δt收 ＝ 2.01 秒（微扩 0.01 秒）去程追击 (速度差：声速 − 前艇速) →← 回程相遇 (速度和：1185 ＋ 15)
声波去程以差速追击北冰洋号，回程以和速迎面撞上太平洋号；两次回波间隔微扩 0.01 秒蕴含了北冰洋号的航速。
极简解答

三步纯算术和差比

  1. 后艇自身比

    太平洋号速 15 米/秒（54 km/h）。发射时分离速度 1185 − 15 ＝ 1170 米/秒，接收时相遇速度 1185 ＋ 15 ＝ 1200 米/秒，后艇自身时间比为 1170 ÷ 1200 ＝ 39/40。

  2. 前艇放大比

    实测时间比为 2.01 ÷ 2 ＝ 201/200。除以后艇自身比，得前艇反射造成的和差比为 (201/200) ÷ (39/40) ＝ 201/195 ＝ 67/65。

  3. 和差给定速

    速度和 67 份、速度差 65 份。声速对应平均 (67 ＋ 65) ÷ 2 ＝ 66 份，前艇速对应半差 (67 − 65) ÷ 2 ＝ 1 份。北冰洋号航速为声速的 1/66：1185 ÷ 66 × 3.6 ＝ 711/11 ＝ 64又7/11 千米/小时。