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行程 · 不同速度 · 接送问题发题

四人前往101千米B地：摩托车不同速接送

原题

A、B两地相距101千米，甲、乙、丙、丁四人从A地出发到B地；甲、乙、丙三人步行的速度分别是每小时10千米、7.5千米、6千米。丁骑摩托车每次可以带一个人，载人时摩托车每小时行30千米，空车时每小时45千米。则四人从A地都到B地最少用时多少？

交互演示

不同步速，怎样恰好同时到达

时刻 0 小时 00 分第 1 阶段 · 丁载甲
101 千米接送路线：甲、乙、丙分别乘车 41、61、71 千米上方实线表示乘车，虚线表示步行。下方丁的路线依次为：0 到 41 千米载甲，空车返回 205/14 千米接乙，载乙到 1059/14 千米，再空车返回 30 千米接丙，最后载丙到 101 千米。 各段均为水平直线，四个向下半圆表示掉头换行，纵向不代表距离，圆弧不计里程或时间。四人于 7 小时 22 分钟同时到达。当前甲、乙、丙的位置分别为 0.00、0.00、0.00 千米，丁在 0.00 千米处。020406080101km甲乘车 41 km · 步行 60 km乙乘车 61 km · 步行 40 km丙乘车 71 km · 步行 30 km丁 · 摩托车路线载人 30 / 空车 45 km/h载甲 41 km41空车折返≈14.64载乙 61 km≈75.64空车折返30载丙 71 kmA101 · B丁101 千米接送路线：甲、乙、丙分别乘车 41、61、71 千米上方实线表示乘车，虚线表示步行。下方丁的路线依次为：0 到 41 千米载甲，空车返回 205/14 千米接乙，载乙到 1059/14 千米，再空车返回 30 千米接丙，最后载丙到 101 千米。 各段均为水平直线，四个向下半圆表示掉头换行，纵向不代表距离，圆弧不计里程或时间。四人于 7 小时 22 分钟同时到达。当前甲、乙、丙的位置分别为 0.00、0.00、0.00 千米，丁在 0.00 千米处。020406080101km甲乘车 41 km · 步行 60 km乙乘车 61 km · 步行 40 km丙乘车 71 km · 步行 30 km丁 · 摩托车路线载人 30 / 空车 45 km/h载甲 41 km41空车折返≈14.64载乙 61 km≈75.64空车折返30载丙 71 kmA101 · B丁
实线乘车，虚线步行；下方按先后换行，半圆仅示意掉头，不计路程与用时。带 ≈ 的里程为近似值。

丁载甲以 30 km/h 前进，从 0 km 到 41 km。

拖动滑块查看 0–7.37h（精确终点 7小时22分）的位置；左右方向键跳转接送时刻。也可点击轨道上的刻度。

讲解 · 纯算术

省时定比例，往返定里程

101 千米接送路线：甲、乙、丙分别乘车 41、61、71 千米上方实线表示乘车，虚线表示步行。下方丁的路线依次为：0 到 41 千米载甲，空车返回 205/14 千米接乙，载乙到 1059/14 千米，再空车返回 30 千米接丙，最后载丙到 101 千米。 各段均为水平直线，四个向下半圆表示掉头换行，纵向不代表距离，圆弧不计里程或时间。四人于 7 小时 22 分钟同时到达。020406080101km甲乘车 41 km · 步行 60 km乙乘车 61 km · 步行 40 km丙乘车 71 km · 步行 30 km丁 · 摩托车路线载人 30 / 空车 45 km/h载甲 41 km41空车折返≈14.64载乙 61 km≈75.64空车折返30载丙 71 kmA101 · B101 千米接送路线：甲、乙、丙分别乘车 41、61、71 千米上方实线表示乘车，虚线表示步行。下方丁的路线依次为：0 到 41 千米载甲，空车返回 205/14 千米接乙，载乙到 1059/14 千米，再空车返回 30 千米接丙，最后载丙到 101 千米。 各段均为水平直线，四个向下半圆表示掉头换行，纵向不代表距离，圆弧不计里程或时间。四人于 7 小时 22 分钟同时到达。020406080101km甲乘车 41 km · 步行 60 km乙乘车 61 km · 步行 40 km丙乘车 71 km · 步行 30 km丁 · 摩托车路线载人 30 / 空车 45 km/h载甲 41 km41空车折返≈14.64载乙 61 km≈75.64空车折返30载丙 71 kmA101 · B
实线乘车，虚线步行；下方按先后换行，半圆仅示意掉头，不计路程与用时。带 ≈ 的里程为近似值。

为什么四人同时到达最快？每人坐车的时间虽然长短不一，但恰好让四个人同时撞线，并且摩托车全程开满没有任何空转浪费，这就是绝对的最优解。

  1. 看省时比，定步行路程比

    因为三人的步速不同（甲快、丙慢），走得慢的人必须多坐车、坐车时间更长；走得快的人少坐车。

    乘车速度 30 km/h，每公里用时 2 分钟。每乘车 1 km 比步行省时：甲（10 km/h）省 4 分钟，乙（7.5 km/h）省 6 分钟，丙（6 km/h）省 8 分钟。

    四人同时到达最快。三人全程乘车用时相同，改为步行后，增加的时间必须相等。4、6、8 的最小公倍数为 24。

    同样增加 24 分钟，甲步行 24 ÷ 4 = 6 km，乙步行 24 ÷ 6 = 4 km，丙步行 24 ÷ 8 = 3 km。因此，步行路程比为 6 : 4 : 3。

  2. 算初始时间差，看每组能缩小多少

    先算初始差距。假设三人全程都坐车，每人的乘车用时都是 101 × 2 = 202 分钟。车却要载人前进 3 × 101 = 303 km；车从 A 到 B，前进比折返多 101 km，所以还要空车折返 303 − 101 = 202 km。相较于一个人坐车走完全程，车多跑了 202 km 的去程和 202 km 的回程。

    每往返 1 km，去程用 2 分钟，回程用 60 ÷ 45 = 4/3 分钟，共 10/3 分钟。所以，车比每个人多用的初始时间是 202 × (10/3) 分钟。

    再看差距怎样缩小。让三人按上一步的比例多走路：车少送了，车的用时在减少；人多走了，每个人的用时在增加。就像两人面对面走，双方一起靠近，时间差每次缩小的量就是车减少的时间 + 每个人增加的时间。

    把甲走 6 km、乙走 4 km、丙走 3 km 算作一组。每多走一组，三人共少坐 6 + 4 + 3 = 13 km，车就少载人前进 13 km；前进与折返的路程差仍是 101 km，因此也少折返 13 km。车的用时减少 13 × (10/3) = 130/3 分钟。

    同时，按第一步算出的结果，每个人的用时都增加 24 分钟，即 72/3 分钟。这里比较的是车与每个人的用时，取每人增加的 24 分钟即可。因此，每组让双方的时间差缩小 130/3 + 72/3 = (130 + 72)/3 = 202/3 分钟。

    最后让时间差归零，四人同时到达。所需组数 = 初始差距 ÷ 每组缩小的差距：
    [202 × (10/3)] ÷ (202/3) = 10 组。两边都有的 202/3 直接约掉，就得到 10 组！

    甲步行 6 × 10 = 60 km，乘车 101 − 60 = 41 km；
    乙步行 4 × 10 = 40 km，乘车 101 − 40 = 61 km；
    丙步行 3 × 10 = 30 km，乘车 101 − 30 = 71 km。

  3. 算单人用时，得最少总时间

    甲步行 60 ÷ 10 = 6 小时，乘车 41 ÷ 30 = 1 小时 22 分钟。

    最少总用时：6 小时 ＋ 1 小时 22 分钟 = 7 小时 22 分钟。