下载 PDF
行程 · 穿梭往返 · 周期缩放发题

穿梭往返：相距20千米时的甲丙距离

原题

A、B两地相距125千米，甲乙两人骑自行车分别从A、B两地同时出发，相向而行，丙骑摩托车以每小时63千米的速度，与甲同时从A地出发，在甲乙两人之间来回穿梭（与乙相遇后立即返回，与甲相遇也立即返回），若甲骑车速度为9千米每小时，且当丙第二次回到甲处时（甲丙同时出发的那一次为丙第零次回到甲处），甲乙两人相距45千米，问：当甲乙两人相距20千米时，甲与丙相距多少千米？

交互演示

水平穿梭，逐次缩短

出发后 0 小时第 1 次去程
丙在甲乙之间的水平穿梭路线与实时位置横轴为距 A 地 0 至 125 千米的位置；丙每次掉头以向下半圆连接下一条水平线，纵向仅表示行程顺序，圆弧不计路程和时间。第 0 至第 4 次回到甲时，甲乙距离为 125、75、45、27、16.2 千米。下方放大当前甲乙之间的道路。当前甲乙相距 125 千米，甲丙相距 0 千米，丙迎乙前进。距 A 地 / km丙：63 km/hA·0255075100B·1251 去1 回第 1 回 · 75 km2 去2 回第 2 回 · 45 km3 去3 回第 3 回 · 27 km4 去4 回第 4 回 · 16.2 km当前切片 · 甲乙之间放大甲乙 125 km甲丙 →乙丙在甲乙之间的水平穿梭路线与实时位置横轴为距 A 地 0 至 125 千米的位置；丙每次掉头以向下半圆连接下一条水平线，纵向仅表示行程顺序，圆弧不计路程和时间。第 0 至第 4 次回到甲时，甲乙距离为 125、75、45、27、16.2 千米。下方放大当前甲乙之间的道路。当前甲乙相距 125 千米，甲丙相距 0 千米，丙迎乙前进。距 A 地 / km丙：63 km/hA·0255075100B·1251 去1 回第 1 回 · 75 km2 去2 回第 2 回 · 45 km3 去3 回第 3 回 · 27 km4 去4 回第 4 回 · 16.2 km当前切片 · 甲乙之间放大甲乙 125 km甲丙 →乙
横轴为实际位置；从上到下依次往返，半圆仅表示掉头换行。下方切片单独放大，甲 9、乙 7、丙 63 千米/时。
甲乙距离 / km
125
甲丙距离 / km
0
丙距 A 地 / km
0

第 1 次去程：丙迎乙前进。

左右方向键逐个查看相遇与所求时刻；Home / End 跳到滑块两端。播放在甲乙相距 20 千米时自动暂停。

图解 · 关键时刻

相距 20 千米时，丙已调头返回

甲乙相距 20 千米时，甲丙相距 17.1 千米横轴为距 A 地 0 至 125 千米的位置；丙每次掉头以向下半圆连接下一条水平线，纵向仅表示行程顺序，圆弧不计路程和时间。第 0 至第 4 次回到甲时，甲乙距离为 125、75、45、27、16.2 千米。下方放大当前甲乙之间的道路。当前甲乙相距 20 千米，甲丙相距 17.1 千米，丙返回甲。距 A 地 / km丙：63 km/hA·0255075100B·1251 去1 回第 1 回 · 75 km2 去2 回第 2 回 · 45 km3 去3 回第 3 回 · 27 km4 去4 回第 4 回 · 16.2 km关键切片 · 丙已遇乙，正在返回甲乙 20 km甲丙 ←乙甲丙 17.1 km甲乙相距 20 千米时，甲丙相距 17.1 千米横轴为距 A 地 0 至 125 千米的位置；丙每次掉头以向下半圆连接下一条水平线，纵向仅表示行程顺序，圆弧不计路程和时间。第 0 至第 4 次回到甲时，甲乙距离为 125、75、45、27、16.2 千米。下方放大当前甲乙之间的道路。当前甲乙相距 20 千米，甲丙相距 17.1 千米，丙返回甲。距 A 地 / km丙：63 km/hA·0255075100B·1251 去1 回第 1 回 · 75 km2 去2 回第 2 回 · 45 km3 去3 回第 3 回 · 27 km4 去4 回第 4 回 · 16.2 km关键切片 · 丙已遇乙，正在返回甲乙 20 km甲丙 ←乙甲丙 17.1 km
横轴为实际位置；从上到下依次往返，半圆仅表示掉头换行。下方切片单独放大，甲 9、乙 7、丙 63 千米/时。
简明解答

周期定速度，倒推求距离

  1. 差倍定乙速

    去、回程相对甲速度为 54、72 千米/时，时间比为 4∶3，全周期是去程的 7/4 倍。两周期后剩 45 ÷ 125 = 9/25 = (3/5)²，每周期甲乙合走 1 − 3/5 = 2/5。甲乙合速与丙乙合速之比为 (2/5) ÷ (7/4) = 8/35；差 35 − 8 = 27 份对应速差 63 − 9 = 54 千米/时，每份 2 千米/时，甲乙合速为 8 × 2 = 16 千米/时，得乙速为 16 − 9 = 7 千米/时。

  2. 定位 20 km 节点

    丙每次回到甲处，甲乙距离依次乘 3/5：125 → 75 → 45 → 27 → 16.2 千米，20 千米落在第 3 次与第 4 次之间。第 4 次去程遇乙时甲乙相距 27 − 16 × (27/70) ≈ 20.8 千米 > 20 千米，说明相距 20 千米时丙已掉头，正在返回甲的途中。

  3. 倒推求甲丙距离

    距第 4 次回到甲，甲乙还需靠近 20 − 16.2 = 3.8 千米，用时 3.8 ÷ (9 + 7) = 19/80 小时。这段时间甲丙相向而行，甲与丙相距 (63 + 9) × (19/80) = 72 × (19/80) = 17.1 千米。